【代码随想录】二刷-回溯算法

xuanxuan

2022-12-08

回溯算法

《代码随想录》

什么是回溯算法？

回溯算法也可以叫做回溯搜索法，它是一种搜索方式。

回溯是递归的副产品，只要有递归就会有回溯。

回溯法的效率:

回溯法的本质是穷举，穷举所有可能，然后选出我们想要的答案。(n层for循环嵌套)

如果想让回溯法更高效一些，可以加一些剪枝操作，但也无法改变回溯法就是穷举的本质。

回溯法一般可以解决如下几种问题:

组合问题: N个数里面按一定规则找出K个数的集合

切割问题: 一个字符串按一定规则由于几种切割方式

子集问题: 一个N个数的集合里有多少符合条件的子集

排列问题: N个数按一定规则全排列，有几种排列方式。

棋盘问题: N皇后，解数独等

如何理解回溯法?

回溯法解决的都可以抽象为树型结构。

因为回溯法解决的都是在集合中递归查找子集，集合的大小就构成了树的宽度，递归的深度构成了树的深度。

递归要有终止条件，所以必然是一棵高度有限的树(N叉树)

回溯模板

for循环横向遍历，递归纵向遍历，回溯不断调整结果集。

void backtracking(参数) {
    if (终止条件) {
        存放结果;
        return;
    }
    // for循环-横向遍历
    for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {
        处理节点;
        backtracking(路径，选择列表); // 递归-纵向遍历
        回溯，撤销处理结果
    }
}

性能分析

组合问题分析

时间复杂度: $O(n* 2^n)$

组合问题其实就是一种子集问题，所以组合问题最坏的情况，也不会超过子集问题的时间复杂度。

空间复杂度: $O(n)$

和子集问题同理。

子集问题分析

时间复杂度: $O(n * 2^n)$

每种元素状态无非选与不选，所以时间复杂度为&O(2^n)$;

构造每一组子集都需要填进数组，又需要$O(n)$;

所以最终时间复杂度为: $O(n*2^n)$

空间复杂度: $O(n)$

递归深度为n，所以系统栈所用空间为$O(n)$

每一层递归所用的空间都是常数级别，注意代码里的result和path都是全局变量，就算是放在参数里，传引用，并不会重新申请内存。

排列问题

时间复杂度: $O(n!)$

这个可以从排列的树形图中很明显发现，每一层节点为n，第二层每一个分支都延伸了n-1个分支，再往下又是n-2个分支，所以一直到叶子节点一共就是 n n-1 n-2 * ..... 1 = n!。每个叶子节点都会有一个构造全排列填进数组的操作（对应的代码：result.push_back(path)），该操作的复杂度为$O(n)$。

所以，最终时间复杂度为：n * n!，简化为$O(n!)$。

空间复杂度: $O(n)$

和子集问题同理。

77. 组合

回溯法的经典题目

图解如下图所示:

class Solution {
public:
    vector<int>path;// 选取的组合
    vector<vector<int>>ret;// 最终结果
    // 用startIndex来记录下一层递归搜索的起始位置
    // 防止重现重复的组合
    void backtracking(int n ,int k ,int startIndex){
        if(path.size() == k){
            ret.push_back(path);// 收集结果
            return ;
        }
        for(int i = startIndex;i <= n;i++){// 横向遍历
            path.push_back(i);// 添加
            backtracking(n,k,i+1);// 纵向遍历
            path.pop_back();// 撤销
        }
    }
    vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
        backtracking(n,k,1);
        return ret;
    }
};

剪枝优化，将for循环控制条件改为

class Solution {
public:
vector<int>path;// 选取的组合
vector<vector<int>>ret;// 最终结果
// 用startIndex来记录下一层递归搜索的起始位置
// 防止重现重复的组合
void backtracking(int n ,int k ,int startIndex){
if(path.siz)e() == k){
ret.push_back(path);// 收集结果
return ;
}
// 如果for循环选择的起始位置之后的元素个数 已经不足 我们需要的元素个数了，那么就没有必要搜索了。
for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++){ // i为本次搜索的起始位置
path.push_back(i);// 添加
backtracking(n,k,i+1);// 纵向遍历
path.pop_back();// 撤销
}
}
vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
backtracking(n,k,1);
return ret;
}
};

216.组合总和III

模板题，在上一题的基础上，在收集结果的时候增加是否等于目标值的判断。

class Solution {
public:
    vector<int>path;
    vector<vector<int>>ret;
    void backtracking(int k, int n,int startIndex){
        if(path.size() == k){
            // 满足指定和才收集
            if(accumulate(path.begin(),path.end(),0) == n)ret.push_back(path);
            return ;
        }
        for(int i = startIndex;i <= 9;i++){
            path.push_back(i);
            backtracking(k,n,i+1);
            path.pop_back();
        }
    }
    vector<vector<int>> combinationSum3(int k, int n) {
        backtracking(k,n,1);
        return ret;
    }
};

优化剪枝

class Solution {
public:
    vector<int>path;
    vector<vector<int>>ret;
    void backtracking(int k, int n,int startIndex){
        if(path.size() == k){
            // 满足指定和才收集
            if(accumulate(path.begin(),path.end(),0) == n)ret.push_back(path);
            return ;
        }
        for(int i = startIndex;i <= 9-(k-path.size())+1;i++){// 剩余元素个数不足了，终止
            path.push_back(i);
            if(accumulate(path.begin(),path.end(),0) > n){// 已经大于目标值了，剪掉
               path.pop_back();
               return;
            }
            backtracking(k,n,i+1); 
            path.pop_back();
        }
    }
    vector<vector<int>> combinationSum3(int k, int n) {
        backtracking(k,n,1);
        return ret;
    }
};

17. 电话号码的字母组合

注意题目的意思是，根据这几个数字所对应的字母进行组合。几个数字，每个组合就有几个元素。

从每个数字对应的元素中取一个。然后组合。

与上面题的不同，本体每一个数字代表的是不同的组合，也就是求不同集合之间的组合，而上面两道题，都是都同一个集合中的组合。

class Solution {
public:
    string path;
    vector<string>ret;
    const string letterMap[10] = {
        "", // 0
        "", // 1
        "abc", // 2
        "def", // 3
        "ghi", // 4
        "jkl", // 5
        "mno", // 6
        "pqrs", // 7
        "tuv", // 8
        "wxyz", // 9
    };
    void backtracking(const string& digits,int index){
        if(index == digits.size()){// 每个数字对应的字母都取了一个，收集。
            ret.push_back(path);;
            return;
        }
        int digit = digits[index]-'0';//将对应char转为int
        string letters = letterMap[digit];
        for(int i = 0; i< letters.size();i++){
            path.push_back(letters[i]);
            backtracking(digits,index+1);
            path.pop_back();
        }
    }
    vector<string> letterCombinations(string digits) {
        if(digits.size() == 0)return ret;
        backtracking(digits,0);
        return ret;
    }
};

隐藏回溯细节

增加参数s,每次修改仅在调用递归函数传参时修改，递归结束返回回来，原值并未被修改。从而达到回溯效果。

class Solution {
public:
    const string letterMap[10] = {
        "", // 0
        "", // 1
        "abc", // 2
        "def", // 3
        "ghi", // 4
        "jkl", // 5
        "mno", // 6
        "pqrs", // 7
        "tuv", // 8
        "wxyz", // 9
    };
    vector<string>ret;
    void backtracking(const string& digits,string s,int index){// 增加参数string
        if(index == digits.size()){
            ret.push_back(s);
            return  ;
        }
        int digit = digits[index]-'0';
        string leeters = letterMap[digit];
        for(int i =0; i < leeters.size();i++){
            backtracking(digits,s+leeters[i],index+1);// 回溯
        }
    }
    vector<string> letterCombinations(string digits) {
        if(digits.size() == 0)return ret;
        string s;
        s.clear();
        backtracking(digits,s,0);
        return ret;
    }
};

39. 组合总和

注意题目要求，所有元素不限制选取次数。在我们实际的代码中，要修改模板的控制下标。

>-  方法1: 需要排序，因为按顺序取，需要判断是否超出目标值，超过则终止当前层的选取——剪枝。
class Solution {
public:
    vector<vector<int>>ret;
    vector<int>path;
    void backtracking(vector<int>& candidates,int target,int startIndex){
        if(accumulate(path.begin(),path.end(),0) == target){
            ret.push_back(path);
            return ;
        }
        for(int i = startIndex; i < candidates.size();i++){
            path.push_back(candidates[i]);
            if(accumulate(path.begin(),path.end(),0) > target){// 在这里终止，因为是排序过了，后面的只会更大。所以终止选取。
                path.pop_back();
                return;
            }
            backtracking(candidates,target,i);// 不加1，重复当前值
            path.pop_back();
        }
        // 或者
        // for(int i = startIndex; i < candidates.size() && accumulate(path.begin(),path.end(),0) < target;i++){
        //     path.push_back(candidates[i]);
        //     backtracking(candidates,target,i);
        //     path.pop_back();
        // }
    }
    vector<vector<int>> combinationSum(vector<int>& candidates, int target) {
        sort(candidates.begin(),candidates.end());// 注意排序
        backtracking(candidates,target,0);
        return ret;
    }
};

方法2: 无序排序，递归后，收集结果前判断，是否超过目标，超过目标值终止计算，返回，继续选取下一个值。因为没排序，后面可能还有符合条件的。注意对比与方法1终止条件位置的不同。

class Solution {
public:
    vector<vector<int>>ret;
    vector<int>path;
    void backtracking(vector<int>& candidates,int target,int startIndex){
        if(accumulate(path.begin(),path.end(),0) > target){// 超过目标值则回退，不要再选啦。
            return ;
        }
        if(accumulate(path.begin(),path.end(),0) == target){
            ret.push_back(path);
            return ;
        }
        for(int i = startIndex; i < candidates.size();i++){
            path.push_back(candidates[i]);
            backtracking(candidates,target,i);
            path.pop_back();
        }
    }
    vector<vector<int>> combinationSum(vector<int>& candidates, int target) {
        backtracking(candidates,target,0);
        return ret;
    }
};

错误提示:

参数startIndex，传递的时候不同于上面的两题，而是传入当前收集的值的下标，i，不是i+1,为了继续重复选取当前元素。

开始我每次传的都是0，这样会造成重复的组合。

40.组合总和II

在上一题的基础上增加去重

去重1: 使用startIndex去重

class Solution {
public:
    vector<int>path;
    vector<vector<int>>ret;
    void backtracking(vector<int>& candidates,int target,int stratIndex){
        if(accumulate(path.begin(),path.end(),0) == target){
            ret.push_back(path);
            return  ;
        }
        for(int i = stratIndex;i < candidates.size();i++){
            // 去重
            if(i > stratIndex && candidates[i] == candidates[i-1])continue;
            path.push_back(candidates[i]);
            if(accumulate(path.begin(),path.end(),0) > target){
                path.pop_back();
                return;
            }
            backtracking(candidates,target,i+1);
            path.pop_back();
        }
    }
    vector<vector<int>> combinationSum2(vector<int>& candidates, int target) {
        sort(candidates.begin(),candidates.end());
        backtracking(candidates,target,0);
        return ret;
    }
};

使用used数组去重——下面的90题子集II有更详细的去重解释。

同一个树枝上的元素可以重复，同一个树层上的元素不可以重复。去的就是同一个树层的重。

详见代码中的注释。

class Solution {
public:
    vector<int>path;
    vector<vector<int>>ret;
    void backtracking(vector<int>& candidates,int target,int stratIndex,vector<bool>&used){
        if(accumulate(path.begin(),path.end(),0) == target){
            ret.push_back(path);
            return  ;
        }
        for(int i = stratIndex;i < candidates.size();i++){
            // 去重，跳过同一层使用过的元素
            // used[i-1] == true,表明同一个树枝candiates[i-1]使用过——联想往下纵向遍历。
            // used[i-1] == false,表明同一个树层candiates[i-1]使用过——联想往右横向遍历。
            // 为什么？ used[i-1] == false;
            // 因为，同一树层，used[i-1] == false才能表示，当前取的candidates[i]是从candidates[i-1]回溯而来。
            // used[i-1] == true 说明进入下一层递归，向下纵向遍历，同一个树枝上使用过啦。

            // 与前一个元素与当前元素相等，并且在同一个树枝使用过，去掉。
            if(i > 0 && candidates[i] == candidates[i-1] &&
                used[i-1] == false)continue;

            path.push_back(candidates[i]);
            if(accumulate(path.begin(),path.end(),0) > target){
                path.pop_back();
                return;
            }
            used[i] = true;// 树枝使用了，遍历
            backtracking(candidates,target,i+1,used);
            used[i] = false;
            path.pop_back();
        }
    }
    vector<vector<int>> combinationSum2(vector<int>& candidates, int target) {
        sort(candidates.begin(),candidates.end());
        vector<bool>used(candidates.size(),false);
        backtracking(candidates,target,0,used);
        return ret;
    }
};

131.分割回文串

可以说是回溯模板题，只是收集结果方式有所不同，判断从某一位置截取到当前位置的字串是否为回文字串，是则收集。

class Solution {
public:
// 判断是否为回文子串-双指针
bool isPalindrome(const string& s,int start,int end){
for(int i = start,j = end; i < j;i++,j--){
if(s[i] != s[j])return false;
}
return true;
}
vector<vector<string>>ret;
vector<string>path;
void backtracking(const string& s, int startIndex){
if(startIndex >= s.size()){// 收集一轮结果
ret.push_back(path);
return ;
}
for(int i = startIndex;i < s.size();i++){
// 想象了一下搜索过程，每次递归刚进入先选一个字母，直到最后，然后开始返回，倒数第二次选两个，依次回溯调整选取状态...其中要判断每次选取的子串是否为回文子串。
if(isPalindrome(s,startIndex,i)){// 是回文字串
string str  = s.substr(startIndex,i-startIndex+1);
path.push_back(str);// 收集
}else continue;//不是回文字串
backtracking(s,i+1);// 切割的地方不能重复切割，所以传入i+1
path.pop_back();// 回溯
}
}
vector<vector<string>> partition(string s) {
backtracking(s,0);
return ret;
}
};

优化，提前计算出某一个子串是否是回文字串。dp思想。

具体来说, 给定一个字符串s, 长度为n, 它成为回文字串的充分必要条件是s[0] == s[n-1]且s[1:n-1]是回文字串。

class Solution {
public:
vector<vector<string>>ret;
vector<string>path;
vector<vector<bool>>isPalindrome;
void backtracking(const string& s, int startIndex){
if(startIndex >= s.size()){// 收集一轮结果
ret.push_back(path);
return ;
}
for(int i = startIndex;i < s.size();i++){
if(isPalindrome[startIndex][i]){// 是回文字串
string str  = s.substr(startIndex,i-startIndex+1);
path.push_back(str);// 收集
}else continue;//不是回文字串
backtracking(s,i+1);
path.pop_back();// 回溯
}
}
// 计算每个子串是否为回文字串
void computePalindrome(const string& s){
isPalindrome.resize(s.size(),vector<bool>(s.size(),false));
for(int i = s.size()-1;i >= 0;i--){
for(int j = i;j < s.size();j++){
if(j ==i)isPalindrome[i][j] = true;
else if(j - i == 1)isPalindrome[i][j] = (s[i] == s[j]);
else isPalindrome[i][j] = (s[i]==s[j] && isPalindrome[i+1][j-1]);
}
}
}
vector<vector<string>> partition(string s) {
computePalindrome(s);
backtracking(s,0);
return ret;
}
};

93.复原IP地址

同上切割问题，可以使用回溯搜索法把所有可能性搜出来。

class Solution {
public:
vector<string>ret;
bool isValid(const string& s,int start,int end){
if(start > end)return false;
if(s[start] == '0' && start != end)return false;// 前导0，不合法
int num = 0;
for(int i = start;i <= end;i++){
if(s[i] > '9' || s[i] < '0'){// 非数字
return false;
}
// 从前往后遍历一个数转成整型
num = num* 10 + (s[i]-'0');
if(num >  255)return false;
}
return true;
}
void backtracking(string& s,int startIndex,int pointCount){
if(pointCount == 3){
if(isValid(s,startIndex,s.size()-1)){// 判断最后一段是不是合法的
ret.push_back(s);// 在原字符串上修改
}
return ;
}
for(int i = startIndex;i < s.size();i++){
if(isValid(s,startIndex,i)){// 判断这个区间子串是否合法
s.insert(s.begin()+i+1,'.');// 在当前这个数字后面插入一个.
pointCount++;
backtracking(s,i+2,pointCount);// 注意，新加了一个点，所以要加2，到下一个数字
pointCount--;
s.erase(s.begin()+i+1);// 删除插入的点
}else break;//不合法直接结束
}
}
vector<string> restoreIpAddresses(string s) {
if(s.size() < 4 || s.size() > 12)return ret;// 剪枝
backtracking(s,0,0);
return ret;
}
};

78.子集

方法1: 使用一个used数组来标记是否使用当前元素，0-暂时不考虑，1-使用，2-不使用。

class Solution {
public:
    vector<int>used;// 记录是否使用过
    vector<vector<int>>ret;
    void backtracking(vector<int>& nums,int startIndex){
        if(startIndex == nums.size()){// 到达边界出，开始收集结果
            vector<int>path;
            for(int i = 0; i <  nums.size();i++){
                if(used[i] == 1)path.push_back(nums[i]);
            }
            ret.push_back(path);
            return;
        }
        // startIndex当前位置
        used[startIndex] = 1;// 选当前位置
        backtracking(nums,startIndex+1);
        used[startIndex] = 0;// 恢复成未考虑状态

        used[startIndex] = 2;// 不选当前位置
        backtracking(nums,startIndex+1);
        used[startIndex] = 0;// 恢复成未考虑状态
    }
    vector<vector<int>> subsets(vector<int>& nums) {
        used.resize(nums.size(),0);
        backtracking(nums,0);
        return ret;
    }
};

方法2: 相对于方法2来说，方法1更直观一些。

可结合下图理解，当前元素，选与不选的这个过程。

startIndex既是边界，也是当前要操作的元素。

方法1，是通过使用used数组来标记当前元素(startIndex下标所对应的元素)选还是不选，最后到达边界，遍历原数组，统一收集结果path，在放入最终结果集ret中。

方法2，则是将选的元素直接收集进path数组中，不选了，也就是回溯，再将其pop出来，此时不断移动边界startIndex直至到达边界。到达边界后，再将小数组path放进结果集ret中。

class Solution {
public:
    vector<int>path;
    vector<vector<int>>ret;
    void backtracking(vector<int>& nums,int startIndex){
        ret.push_back(path);// 收集结果
        if(startIndex == nums.size())return ;// 此终止条件可以省略
        for(int i = startIndex;i < nums.size(); i++){
            path.push_back(nums[i]);// 选上当前元素
            backtracking(nums,i+1);// 递归
            path.pop_back();// 回溯-不选当前元素啦
        }
    }
    vector<vector<int>> subsets(vector<int>& nums) {
        backtracking(nums,0);
        return ret;
    }
};

90. 子集 II

开始没想明白这跟上面那个题有什么区别，我说上面那个没说不让重复不也没重吗，其实不对，因为上面那个给的数据就不是重复的，所以求子集没重复，这题给的数据出现重复的元素了，所以就需要增加一个去重操作。

相当于40题组合总和II中，我们使用的used数组，是一个意思，但是我觉得那样的意思容易让人弄混，容易直译数组名used的含义，所以我们这里将其改为int型数组，1表示当前树枝上使用了，2表示当前树层上使用了，0表示暂未考虑。

上方划线文字作废，就按照true表示当前树枝使用过，false表示当前树层使用过就行。

如下方图解所示，理解起来稍微有一点抽象，可以画图走一遍，下图仅给出第一次选1的分支。

仔细想一下，其实不难。

就是先确定一点，即，这个树枝上第一个元素，我们称为"父亲",然后再往后选剩下的每一个数，即"孩子"

重复的情况就是，当前这个元素上当前这个元素和前一个元素相同，并且前一个元素不是父亲元素(i > 0)，——说明，当前父亲和孩子的组合，出现过了，就是重复啦，去掉。

那你可能就问了，那后面也是重复的吗，当然，再往后选孩子的孩子，也是重复的。因为在上一个"树枝"已经选取过了。

如下图所示意:

class Solution {
public:
    vector<int>path;
    vector<vector<int>>ret;
    vector<bool>used;
    void backtracking(vector<int>&nums,int startIndex){
        ret.push_back(path);// 注意本题收集结果的方式，每次递归都要收集结果。
        if(startIndex == nums.size())return;// 这行可以不加
        for(int i = startIndex;i < nums.size();i++){
            // i > 0防止越界
            if(i > 0 && nums[i] == nums[i-1] && used[i-1] == false)continue;// 去重
            path.push_back(nums[i]);
            used[i] = true;
            backtracking(nums,i+1);
            used[i] = false;
            path.pop_back();
        }
    }
    vector<vector<int>> subsetsWithDup(vector<int>& nums) {
        sort(nums.begin(),nums.end());// 排序，用于去重
        used.resize(nums.size(),false);
        backtracking(nums,0);
        return ret;
    }
};

方法2: 使用下标去重，看起来更简单些，但思想同使用used数组。此方法更贴切本题中第二张图。

class Solution {
public:
    vector<int>path;
    vector<vector<int>>ret;
    void backtracking(vector<int>&nums,int startIndex){
        ret.push_back(path);
        for(int i = startIndex;i < nums.size();i++){
            if(i > startIndex && nums[i] == nums[i-1])continue;// 去重
            path.push_back(nums[i]);
            backtracking(nums,i+1);
            path.pop_back();
        }
    }
    vector<vector<int>> subsetsWithDup(vector<int>& nums) {
        sort(nums.begin(),nums.end());// 排序，用于去重
        backtracking(nums,0);
        return ret;
    }
};

方法3: 使用set去重,去重判断同理。不做过多解释。

有趣的一点也是重要的一点是，注意，是先判断是出现过，然后在往set里emplace，这步就相当于使用used数组中的。可以对照理解一下。是一个意思。

if(i > 0 && nums[i] == nums[i-1] && used[i-1] == false)continue;// 去重

class Solution {
public:
    vector<int>path;
    vector<vector<int>>ret;
    void backtracking(vector<int>&nums,int startIndex){
        ret.push_back(path);
        unordered_set<int>set;
        for(int i = startIndex;i < nums.size();i++){
            if(set.find(nums[i]) != set.end())continue;// 去重
            path.push_back(nums[i]);
            set.emplace(nums[i]);
            backtracking(nums,i+1);
            path.pop_back();
        }
    }
    vector<vector<int>> subsetsWithDup(vector<int>& nums) {
        sort(nums.begin(),nums.end());// 排序，用于去重
        backtracking(nums,0);
        return ret;
    }
};

491.递增子序列

~~本题无法像上一题那样简单的使用used数组(bool数组)进行去重。~~

~~因为并不是简单的对比前一个元素，因为前一个元素不一定就可以放进去，也就是说如果(可以的话)仍使用上面used数组去重方式，逻辑会更加复杂。~~

方法1: 使用set去重，同上题使用set的方法，如下图所示，不理解就跟着走一下。

class Solution {
public:
    vector<int>path;
    vector<vector<int>>ret;
    void backtracking(vector<int>& nums,int startIndex){
        // 题目要求,递增要求，至少有两个元素
        if(path.size() > 1)ret.push_back(path);
        unordered_set<int>set;
        for(int i = startIndex;i < nums.size();i++){
            if(!path.empty() && nums[i] < path.back() ||
                set.find(nums[i]) != set.end())continue;
            set.emplace(nums[i]);
            path.push_back(nums[i]);
            backtracking(nums,i+1);
            // 为什么这里不用将set中的元素弹出来，因为我们每次递归进来都会创建一个set。是局部变量。详情见上图所示
            // 即每个set只负责本层。
            path.pop_back();
        }
    }
    vector<vector<int>> findSubsequences(vector<int>& nums) {
        backtracking(nums,0);
        return  ret;
    }
};

方法2: 使用用数组模拟哈希表来去重

class Solution {
public:
    vector<int>path;
    vector<vector<int>>ret;
    void backtracking(vector<int>& nums,int startIndex){
        // 题目要求,递增要求，至少有两个元素
        if(path.size() > 1)ret.push_back(path);
        int used[201] = {0};// 数据范围-100到+100
        for(int i = startIndex;i < nums.size();i++){
            if(!path.empty() && nums[i] < path.back() ||
                used[nums[i]+100] == 1)continue;
            used[nums[i]+100] = 1;
            path.push_back(nums[i]);
            backtracking(nums,i+1);
            path.pop_back();
        }
    }
    vector<vector<int>> findSubsequences(vector<int>& nums) {
        backtracking(nums,0);
        return  ret;
    }
};

46. 全排列

相对于上面使用used数组去重，本题会更好理解些，我们使用used数组，仅仅来记录当前元素是否被使用过，而且不需要indexStart来记录每层递归开始的位置，而是每次都从头开始，从而收集所有的排列方式。

主要的一点是，不会给重复的数，以此为去重问题，见下题。

给上面的补充，写在这里，每一层，是指对应树枝的下面的每一层，不是整体的每一层。

class Solution {
public:
    vector<int>path;
    vector<vector<int>>ret;
    vector<bool>used;// 记录当前元素是否使用过，true使用过，false没使用过
    void backtracking(vector<int>& nums){
        if(path.size() == nums.size()){
            ret.push_back(path);
            return ;
        }
        for(int i = 0; i < nums.size() ;i++){
            if(used[i] == true)continue;// 该元素已经使用过啦
            path.push_back(nums[i]);
            used[i] = true;
            backtracking(nums);
            path.pop_back();
            used[i] = false;
        }
    }
    vector<vector<int>> permute(vector<int>& nums) {
        used.resize(nums.size(),false);
        backtracking(nums);
        return ret;
    }
};

47.全排列 II

在上一题的基础上，给出重复的元素，需要增加去重。类似于上面求子集问题中的去重。

在去重逻辑中，当前元素与前一位相等，并且前一位对应used为false,去掉。

还是求子集问题中的去重道理。不过可以更简单的理解为，重复的数，以其为选中基准，重新排列组合出来的结果也是相同的(因为顺序固定了)。所以要去掉。——树层去重

先选中的这个数为下面树层的根。

方法1: 树层去重

class Solution {
public:
    vector<int>path;
    vector<vector<int>>ret;
    vector<bool>used;// 用来记录是否使用过
    void backtracking(vector<int>& nums){
        if(path.size() == nums.size()){
            ret.push_back(path);
            return ;
        }
        for(int i = 0; i < nums.size();i++){
            if(i > 0 && nums[i] == nums[i-1] && used[i-1] == false)continue;
            if(used[i] == false){// 当前元素没使用，那就选上
                used[i] = true;// 使用
                path.push_back(nums[i]);
                backtracking(nums);// 递归
                used[i] = false;// 回溯
                path.pop_back();
            }
        }
    }
    vector<vector<int>> permuteUnique(vector<int>& nums) {
        used.resize(nums.size(),false);
        sort(nums.begin(),nums.end());
        backtracking(nums);
        return ret;
    }
};

方法2：树枝去重

即，对于树的每一个树枝来说，当我们确定了一个树层的根后，下面不可以再选与其相同的子根。

// 只需修改一步，将false改为true即可
// 如果理解了上面的我说的层的概念，这个树枝去重会很好理解。
if(i > 0 && nums[i] == nums[i-1] && used[i-1] == true)continue;

树层去重和树枝去重对比

可以很清晰的看到，树层上对前一位去重非常彻底，效率很高，树枝上对前一位的去重虽然最后可以得到答案，但是做了很多无用搜索。

方法3: 使用set去重

class Solution {
public:
    vector<int>path;
    vector<vector<int>>ret;
    vector<bool>used;// 用来记录是否使用过
    void backtracking(vector<int>& nums){
        if(path.size() == nums.size()){
            ret.push_back(path);
            return ;
        }
        unordered_set<int>set;
        for(int i = 0; i < nums.size();i++){
            if(set.find(nums[i]) != set.end())continue;// 使用过了
            if(used[i] == false){// 当前元素没使用，那就选上
                used[i] = true;
                set.insert(nums[i]);
                path.push_back(nums[i]);
                backtracking(nums);
                used[i] = false;
                path.pop_back();
            }
        }
    }
    vector<vector<int>> permuteUnique(vector<int>& nums) {
        used.resize(nums.size(),false);
        sort(nums.begin(),nums.end());
        backtracking(nums);
        return ret;
    }
};

注意:

使用set去重的版本相对于used数组的版本效率会低很多。

因为频繁的对unordered_set进行insert操作，unordered_set需要做哈希映射(也就是把key通过hash function映射为唯一的哈希值)相对费时间，而且insert的时候其底层的符号表也要做相应的扩充，也是费时的。

332. 重新安排行程

就是看能不能把所有票都用上。走完全程。

class Solution {
public:
    // 某一个机场可以到达的机场都有哪些，航班次数为这样的航班有几个。
    // 出发机场，<到达机场，航班次数>
    unordered_map<string,map<string,int>>targets;
    vector<string>ret;// 收集结果,沿途经过的机场数
    bool backtracking(int ticketNum){
        // ret.size()当前经过的机场数量 == 航班数量+1
        // 就是将所有票都用上了，终止。
        if(ret.size() == ticketNum + 1)return true;// 当前票都使用完毕

        //每次遍历的时候拿到上一个降落的机场，遍历这个机场接下来可以往哪飞
        for(pair<const string,int>& target : targets[ret[ret.size()-1]]){// 注意传引用，修改second值，const-因为map中的key不可修改。
            if(target.second > 0){// 
                ret.push_back(target.first);
                target.second--;
                if(backtracking(ticketNum))return true;// 找到了终止，就不pop出来了
                ret.pop_back();// 回溯
                target.second++;
            }
        }
        return false;
    }
    vector<string> findItinerary(vector<vector<string>>& tickets) {
        targets.clear();
        for(const vector<string>& vec: tickets){// 记录映射关系-当前机场都能到哪个机场，能到达几次
            targets[vec[0]][vec[1]]++;// 计数，使用了当前票--，避免死循环。
        }
        ret.push_back("JFK");// 起始机场
        backtracking(tickets.size());
        return ret;
    }
};

第51题. N皇后

时间复杂度: $O(n!)$

空间复杂度: $O(n)$,和子集问题同理

皇后们的要求

不能同行

不能同列

不能同斜线,45 & 135

class Solution {
public:
    vector<vector<string>>ret;
    vector<string>chess_borad;
    void backtracking(int n,int row){// n为棋盘大小，row为当前到第几行
        if(row == n){// 每行都确定了皇后的位置
            ret.push_back(chess_borad);
            return ;
        }
        for(int col = 0; col < n;col++){
            if(isValid(row,col,n)){// 当前位置合法
                chess_borad[row][col] = 'Q';// 放置皇后
                backtracking(n,row+1);
                chess_borad[row][col] = '.';// 撤销皇后
            }
        }
    }

    // 判断当前位置放入皇后，是否合法
    bool isValid(int row,int col,int n){
        // 检查列
        for(int i = 0; i < row;i++){
            if(chess_borad[i][col] == 'Q')return false;
        }

        // 为什么这里没有单独检查行呢，因为递归的时候就是在调整行，递归一下，切换一下行。

        // 45度——也就是往右上判断，为什么不用判断左下判断，因为还没到下面的行。
        // 135度判断同理
        for(int i = row - 1,j = col + 1 ;i >=0 && j < n;i--,j++){
            if(chess_borad[i][j] == 'Q')return false;
        }

        for(int i = row - 1,j = col - 1; i >= 0 && j >= 0;i--,j--){
            if(chess_borad[i][j] == 'Q')return false;
        }
        return true;
    }
    vector<vector<string>> solveNQueens(int n) {
        chess_borad.resize(n,string(n,'.'));
        backtracking(n,0);
        return ret;
    }
};

37. 解数独

时间复杂度: $O(9^m)$,m是'.'的数目

空间复杂度: $O(n^2)$,递归的深度是$O(n^2)$

判断棋盘是否合法

同行是否重复

同列是否重复

9宫格里是否重复

就是一个萝卜一个坑，理论上来说有几个空白位置就会递归几层。递归只是为了找到坑位，不会再向后移动，搜寻别的坑。详见下方注释。

class Solution {
public:
    bool isValid(int row,int col,char val,vector<vector<char>> &board){
        for(int i = 0; i < 9;i++){// 检查同行是否有重复
            if(board[row][i] == val)return false;
        }
        for(int i = 0;i < 9;i++){// 检查同列是否有重复
            if(board[i][col] == val)return false;
        }

        // 检查九宫格内是否有重复
        int startRow = (row / 3)*3;//定位每个九宫格左上角位置
        int startCol = (col / 3)*3;
        for(int i = startRow;i < startRow + 3;i++){
            for(int j = startCol;j < startCol + 3;j++){
                if(board[i][j] == val)return false;
            }
        }
        return true;
    }
    bool backtracking(vector<vector<char>>& board){
        // 有趣的一点，我们发现在这里并没有控制下标访问，因为我们将某个空白位置放上了数字，board[i][j]就不为'.'啦，递归时就不会覆盖上一层所放的位置
        // 递归的时候会不断找到空的位置，尝试放入合法的数。也就是说每次层递归，都确定一个空位置被放入一个合法的数。
        // 就是一个萝卜一个坑，理论上来说有几个空白位置就会递归几层。递归只是为了找到坑位，不会再向后移动，搜寻别的坑。
        // 当某一层递归中，某一个空白放哪个数字都不行，return false,回溯，尝试将上一层所放置的位置换成别的，继续调整。
        for(int i = 0; i < 9;i++){
            for(int j = 0; j < 9;j++){
                if(board[i][j] == '.'){// 是空白
                    for(char k = '1' ;k <= '9';k++){// 遍历，放置合适的数字
                        if(isValid(i,j,k,board)){// 可以放
                            board[i][j] = k;
                            if(backtracking(board))return true;// 可以了就终止
                            board[i][j] = '.';
                        }
                    }
                    return false;// 九个数都是了，放哪个都不行，return false
                }
            }
        }
        return true;
    }
    void solveSudoku(vector<vector<char>>& board) {
        backtracking(board);
    }
};

这个回溯拖得时间还是比较长了，抓紧抓紧!Orz